30 Dec 2014

SEJARAH BILANGAN


BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam menghitung (counting) , seorang matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari objek objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan pola pola dan hubungan diantara objek objek yang memungkinkan mereka untuk menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak bagian dari matematika dan sering melibatkan metode metodeyang cukup canggih.
Beberapa formula menghitung kuno dapat ditelusuri pada abad ke-7. Tetapi teori menghitung ini mulai dikembangkan pada abad ke-16, ketika matematikawan matematikawan mulai menganalisis permainan permainan judi (games of change) tertentu. Dalam usaha untuk menjawab pertanyaan pertanyaan tentang pelemparan dadu dan penarikan kartu kartu, beberapa orang metematikawan Eropa pada saat itu mulai mengorganisasi hasil hasil mereka ke dalam teori menghitung yang formal. Salah seorang tokoh utama dalam pengembangan ini adalah matematikawan Perancis, Blaise Pascal, yang menulis sebuah makalah berkaitan dengan teori kombinasi kombinasi.
Karya yang dilakukan oleh pascal dan yang lain sekarang dikembangkan dalam suatu cabang matematika yang disebut combinatorial analysis (kombinatorik). Dua aspek besar dalam subyek ini adalah permutasi dan kombinasi yang mempunyai aplikasi dalam teori bidang peluang.
Kombinatorial (combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek objek. Solusi yang ingin kita peroleh dengan kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek objek tertentu di dalam kumpulannya. Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu eksperimen/percobaan atau event  (kejadian/peristiwa). Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.
B. Rumusan Masalah
a.       Siapa penemu bilangan ?
b.      Bagaimana sejarah bilangan ?
c.       Bagaimana perkembangan bilangan pada beberapa negara?
d.      Ada apa saja macam-macam pada bilangan ?
e.       Apa sifat-sifat pada bilangan ?
C. Tujuan
a.       Untuk mengetahui bagaimana sejarah pada bilangan.
b.      Supaya mahasiswa bisa mengetahui perkembangan bilangan di beberapa negara.
c.       Supaya mahasiswa dapat mengetahui macam-macam bilangan beserta sifatnya.

BAB II
PEMBAHASAN
I. SEJARAH BILANGAN
1. Penemuan Bilangan
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan.
2.      Gambaran Sejarah Purbakala dari Matematika
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eulfrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis,  yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
3.      Awal Bilangan
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggunakannya.
4.      Perkembangan Teori Bilangan
Perkembangan teori bilangan telah menyebar ke berbagai negara , di bawah ini akan di jelaskan beberapa perkembangan yang ada pada negara-negara tersebut :
a)      Teori Bilangan Pada suku Babilonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari.
Beberapa di antaranya adalah karya rumahan. Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal
b)      Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno
Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.
c)      Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.
d)     Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.
II. MACAM-MACAM BILANGAN
Sebelum kita mengenal macam-macam bilangan, kita mengenal terlebih dahulu pengertian dari bilangan tersebut. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan suatu kumpulan benda. Biasanya lambang bilangan sering dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka.
Adapun macam-macam bilangan , yaitu ada bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan pecahan, bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan riil, bilangan imajiner dan bilangan kompleks. Dan dapat diuraikan penjelasannya sebagai beikut :
1.      Bilangan Bulat
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan positif, bilangan negatif dan bilangan bulat.
Contoh bilangan bulat : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3……
2.      Bilangan Asli
Bilangan asli merupakan bilangan bulat positif yang diawali angka 1 sampai tak terhingga.
Contoh bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5, 6, …..
3.      Bilangan Cacah
Bilangan cacah merupakan bilangan yang diawali dengan angka nol (0) sampai tak terhingga.
Contoh bilangan cacah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 …..
4.      Bilangan Prima
Bilangan prima yaitu bilangan yang tepat mempunyai 2 faktor yaitu dapat di bagi oleh angka 1 dan dengan bilangan itu sendiri, atau bilangan asli bukan 1 yang dapat di bagi dengan bilangan itu sendiri.
Contohnya : 2, 3, 5, 7, 11, ….
5.      Bilangan Genap
Bilangan genap adalah bilangan cacah yang dapat di bagi 2.
Contohnya : 2, 4, 6, 8, 10 , …..
6.      Bilangan Ganjil
Bilangan ganjil merupakan bilangan asli yang jika di bagi 2 selalu bersisa satu (1).
Contohnya : 1, 3, 5, 7,…..
7.      Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan merupakan bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, dimana pembilang sebagai bilangan yang terbagi dan penyebut sebagai bilangan pembagi. Bilangan pecahan terdiri dari pecahan biasa, pecahan campuran, pecahan decimal, pesacah persen dan pecahan pemil.
Contohnya :
·         Pecahan Biasa             : ⅔
·         Pecahan Cmpuran       : 5 ,7
·         Pecahan Desimal         : 0,3/0,25
·         Pecahan Persen           : 30% = 30/ 100
·         Pecahan permil            : 30‰ = 30/1000
8.      Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian antara 2 bilangan bulat.
Contohnya : , , ….
9.      Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional yaitu suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagi antara dua bilangan.
Contohnya :  , log 7 , …..
10.  Bilangan Riil (nyata)
Bilangan riil yaitu suatu bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Contohnya :   ,  log 7 , ….
11.  Bilangan immajiner
Bilangan immajiner yaitu suatu bilangan yang dilambangkan dengan huruf (i) dimana i2 bernilai -1 atau i =
Contohnya : i, 2i, 4i, ,,,,,,,,
  x -1 = 4 x i = 4i
12.  Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks yaitu suatu bilangan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan immajiner atu yang terdiri atas a+bi.
Contohnya : 3+4i …..
III. SIFAT BILANGAN
1)      Sifat Komutatif
Dalam penjumlahan dan perkalian, angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan dapat dibolak – balik :
5 + 2 = 7 dan 2 + 5 = 7
5 x 2 = 10 dan 2 x 5 = 10
Ini adalah merupakan sifat komutatif, yaitu jika angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan menghasilkan hasil yang sama. Dalam sebuah variable dapat dituliskan :
a + b = b + a
a x b = b x a
sifat ini tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian.
Contoh :
5 – 2 = 3 sedangkan 2 – 5 = -3
4 : 2 = 2 sedangkan 2 : 4 = 0,5
2)      Sifat Asosiatif
Dalam operasi penjumlahan dan perkalian pada tiga bilangan, tidak menjadi masalah apakah anda menggabungkan dua bilangan pertama kemudian bilangan ketiga, atau jika anda mulai dengan menggabungkan bilangan kedua dan ketiga baru kemudian bilangan pertama.
Contoh :
5 + ( 3 + 6 ) = 14 dan ( 5 + 3 ) + 6 = 14
5(3x6) = 90 dan (5x3)6 = 90
Dalam bentuk variable dapat dituliskan sebagai berikut :
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
a(b xc ) = (axb)c
sedangkan pada operasi pengurangan dan pembagian sifat asosiatif tidak berlaku.
3)      Sifat Distributif
Perkalian dapat didistribusikan pada operasi penjumlahan atau pembagian.
Contoh :
3( 4 + 5 ) = 3 x 9 = 27 dan 3(4) + 3(5) = 12 + 15 = 27
Dalam bentuk variable dapat dinyatakan dengan :
a( b + c ) = a(b) + a(c)
pada operasi pambagian tidak dapt di distribusikan pada operasi penjumlahan ataupun operasi pengurangan.
         BAB III PENUTUP
KESIMPULAN
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Bilangan pada awalnya di gunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan.
Macam-macam bilangan terdiri dari bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan pecahan, bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan riil, bilangan imajiner dan bilangan kompleks.
Sifat dalam bilangan di antaranya : sifat komunikatif, sifat asosiatif, sifat distributif.
DAFTAR PUSTAKA
Yahya, Yusuf dkk. 2011. Matematika Dasar Perguruan Tinggi. Bogor : GHALIA INDONESIA.
http://www.adipedia.com/2011/04/mengenal-macam-macam-bilangan-dan.html
http://hariski.wordpress.com/2011/10/17/macam-macam-bilangan-matematika/
http://4matakuliah.blogspot.com/2011/10/macam-macam-bilangan.html

26 Dec 2014

Sistem Bilangan Bulat

SISTEM BILANGAN BULAT

Bilangan bulat tersusun dari bilangan bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. bilangan bulat positif { 1, 2, 3…}, bilangan nol { 0 } atau { }, bilangan bulat negatif {…,-3, -2, -1}.
Definisi 1 :
Jika n bilangan asli, maka –n didefinisikan tunggal sehingga n + -n = -n + n = 0
atau
Jika n bilangan bulat, maka n + (-n) = (-n) + n = 0. (-n) disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Definisi 1 menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ada dengan tunggal bilangan bulat   (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0. Lawan dari -n adalah -(-n) sehingga (-n) + (-(-n)) = (-(-n))+(-n) = 0. Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan mengingat ketunggalan dari n, maka          (-(-n)) = n. jadi lawan dari (-n) adalah n. secara umum -n adalah satu-satunya bilangan yang mana bila ditambah n memberikan 0, dimana n adalah suatu bilangan asli. Bilangan -n disebut invers penjumlahan (additif) dari n. Contoh: 7 adalah invers penjumlahan dari -7 dan -7 adalah invers penjumlahan dari 7 sebab 7 + (-7) = (-7) + 7 = 0.

Definisi 2 :
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (x), dan mempunyai sifat-sifat :
1.    Tertutup terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x)
Ada dengan tunggal a, b ∈ B maka a + b dan a x b berlaku sifat tertutup
    Jumlah bilangan bulat sebarang adalah bilangan bulat
    Hasil kali bilangan bulat sebarang adalah bilangan bulat
2.    Komutatif terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x)
Untuk semua elemen a dan b dari bilangan bulat B berlaku
    a + b = b + a
    a x b = b x a
3.    Asosiatif terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x)
Untuk semua elemen a, b dan c ∈ B berlaku
    (a + b) + c = a + (b + c)
    (a x b) x c = a x (b x c)
4.    Distributif kiri dan kanan operasi perkalian (x) terhadap penjumlahan (+)
Untuk semua elemen a, b dan c ∈ B berlaku
    Distributif kiri : a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
    Distributif kanan : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
5.    Ketunggalan invers penjumlahan
Untuk masing-masing a ∈ B dan invers penjumlahan yang tunggal -a sehingga : a + (-a) = 0. Jika    a = -x maka -a = -(-x) dan -x + -(-x) = 0 karena -x + x = 0 dan invers penjumlahan adalah tunggal, maka -(-x) = x
6.    Ada elemen identitas penjumlahan (+) dan perkalian (x)
    Jika a bilangan bulat maka ada bilangan bulat 0 sehingga berlaku a + 0 = 0 + a = a.                   0 disebut elemen identitas penjumlahan.
    Jika a bilangan bulat, maka ada bilangan bulat 1 sehingga berlaku a x 1 = 1 x a = a.                   1 disebut elemen identitas perkalian.
7.    Perkalian dengan nol
Jika a adalah bilangan bulat maka 0 x a = a x 0 = 0

Penjumlahan Bilangan Bulat
    Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah, bagaimanakah penjumlahan (-a) + (-b) ?. misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan (-a) + (-b), yaitu :
                   c = (-a) + (-b)     maka
                            c + b = ((-a) + (-b)) + b        sifat penjumlahan pada kesamaan
                            c + b = (-a) + ((-b) + b)        sifat asosiatif penjumlahan
                                 c + b = (-a) + 0            invers penjumlahan
                     (c + b) + a = (-a) + a            sifat penjumlahan pada kesamaan
                     (c + b) + a = 0                invers penjumlahan
                     c + (b + a) = 0                sifat asosiatif penjumlahan
                     c + (a + b) = 0                sifat komutatif penjumlahan
(c + (a + b)) + (-(a + b)) = -(a + b)            sifat penjumlahan pada kesamaan
 c + ((a + b) + (-(a + b)) = -(a + b)            sifat asosiatif penjumlahan
                              c + 0 = - (a + b)            invers penjumlahan
                                    c = -(a + b)
karena c = (-a)+(-b) = -(a + b)
jadi, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka (-a) + (-b) = -(a + b)
    Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah dengan a< b, bagaimanakah a + (-b) ?
Menurut definisi bilangan-bilangan cacah a < b berarti ada bilangan asli c sedemikian hingga         a + c = b, dan menurut definisi pengurangan bilangan-bilangan cacah a + c = b sama artinya dengan b – a = c
jadi a + (-b) = a + (-(a + c))
                    = a + ((-a) + (-c))        penjumlahan dua bilangan bulat negatif
                    = (a + (-a)) + (-c)        sifat asosiatif penjumlahan
                    = 0 + (-c)            invers penjumlahan
                    = -c karena c = b – a, maka a + (-b) = -(b – a)
Jadi jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif dengan a < b, maka a + (-b) = -(b - a)

Definisi 3
Jumlah dua bilangan bulat pada operasi penjumlahan didefinisikan seperti hal dibawah ini, dimana a dan b adalah bilangan-bilangan cacah.
a.    a + b = n(A) + n(B), dimana a = n(A), b = n(B) dan AB = 
b.    –a + -b = -(a + b)
c.    a + -b = -b + a = a – b, jika a > b
d.    a + -b = -b + a = -(b – a), jika a < b
Contoh :
1.    2 + (-5) = -(5 – 2) = -3
2.    7 + -4 = 7 – 4 = 3
3.    -3 + -5 = -(3 + 5) = -8
4.    -7 + 9 = 9 + -7 = 9 – 7 = 2
5.    -9 + 5 = 5 + -9 = -(9 – 5) = -4
6.    -16 + -17 = -(16 + 17) = -33

Pengurangan Bilangan Bulat
Definisi 4
Jika a, b dan k bilangan-bilangan bulat, maka a – b = k bila dan hanya bila a = b + k. pengurangan bilangan-bilangan cacah tidak memiliki sifat tertutup, yaitu jika a dan b bilangan-bilangan cacah, (a – b) ada (bilangan cacah) hanya jika a > b. apakah pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki sifat tertutup ?
Untuk menunjukkan bahwa pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki sifat tertutup, maka harus ditunjukkan bahwa ubtuk setiap a dan b bilangan-bilangan bulat selalu ada tunggal bilangan bulat (a – b). pertama kita tunjukkan eksistensinya yaitu ada bilangan bulat k sedemikian hingga a – b = k.
Menurut definisi pengurangan a – b = k bila dan hanya bila a = b + k
a + (-b) = (b + k) + (-b)    sifat penjumlahan
             = (k + b) + (-b)    sifat komutatif penjumlahan
             = k + (b) + (-b)    sifat asosiatif penjumlahan
             = k + 0        invers penjumlahan
               a + (-b) = k
k = a + (-b) ini menunjukkan bahwa ada bilangan bulat k sedemikian hingga a – b = k
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bilangan bulat k (yang sama dengan a + (-b)) itu tunggal. Andaikan ada bilangan bulat n dengan n  k sedemikian hingga a = b + n. karena a = b + k maka b + n = b + k. jika kedua ruas kesamaan terakhir masing-masing ditambah (-b) dan dengan sifat asosiatif penjumlahan dan invers penjumlahan maka diperoleh bahwa n = k yang bertentangan dengan pengandaian. Jadi bilangan bulat k tertentu dengan tunggal sehingga a = b + k.
Dengan demikian terbuktilah bahwa pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki sifat tertutup. Jadi a – b = k = a + (-b).

Latihan soal :
1.    Jika  a dan b bilangan-bilangan cacah dengan b < a, buktikanlah a + (-b) = a – b
2.    Buktikanlah bahwa a - (-b) = a + b
3.    Buktikan bahwa a - (b – c) = (a + c) – b
4.    Buktikan bahwa (a - b) – (-c) = (a + c) –b
5.    Buktikanlah bahwa a – b = (a - c) – (b - c)

TEORI BILANGAN "BILANGAN CACAH"

Bilangan Cacah



MAKALAH TEORI BILANGAN
BILANGAN CACAH
Dosen : Ismarti, S.Si, M.Sc

Disusun Oleh :
BADRI ROHMAN              NPM 12.05.0.001

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN
2014
Kata Pengantar
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia-Nya makalah ini dapat terselesaikan, meskipun banyak kekurangan di sana- sini.
            Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah TEORI BILANGAN. Dalam makalah ini dijelaskan tentang Urutan Bilangan Cacah, Garis Bilangan , Pengurangan & Pembagian Bilangan Cacah.
            Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk membantu dalam memahami TEORI BILANGAN terutama yang berhubungan dengan Bilangan Cacah.
            Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu masukan dan kritikan sangat kami harapkan untuk penyusunan yang lebih baik.
Batam,11 Maret 2014
Penyusun
DAFTAR ISI
Kata Pengantar.................................................................................................................    ii
Daftar Isi...........................................................................................................................     iii
BILANGAN CACAH
1.      Operasi pada Bilangan Cacah...........................................................................      1
2.      Garis Bilangan....................................................................................................       2
      3.   Urutan Bilangan Cacah……………………….…….......................................       2
     4.   Bilangan Genap & Bilangan Ganjil       .........................................................          3
     5.    Pengurangan Bilangan Cacah……………………………………………….        5
     6.     Pembagian Bilangan Cacah……………………………..…………………..        6
     7.    Contoh Soal………………………………………….……………………….         7
     8.    Kesimpulan……………………………………. ……………………………          10
     9.    Daftar Pustaka…………………………………………………………….….        11       
    10.    Lampiran…………………………………………….……………………….        12
BILANGAN CACAH
Definisi
         Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan bilangan cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ....}
         Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :
  1. Himpunan bilangan asli  = { 1, 2, 3, 4, ...}
  2. Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}
  3. Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}
  4. Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}
  5. Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}
  6. Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}
Operasi pada bilangan cacah
  1. Penjumlahan
    • komutatif : a + b = b + a
    • asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
    • unsur identitas (netral) adalah nol (0)
    • sifat tertutup pada penjumlahan
      Penjumlahan dua atau lebih bilangan cacah selalu menghasilkan bilangan cacah
  2. Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan a - b = c, sama artinya dengan b + c = a.
  3. Perkalian
    • komutatif : a x b = b x a
    • asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
    • distributif :
      a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
      a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
    • unsur identitas perkalian adalah satu (1)
      a x 1 = a
      b x 1 = b
    • semua bilangan cacah dikalikan dengan nol (0), hasilnya nol (0)
      a x 0 = 0
      b x 0 = 0
    • sifat tertutup perkalian
      semua perkalian bilangan cacah menghasilkan bilangan cacah juga.
  4. Pembagian
    • Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian
      a : b = c
      b x c = a
    • 0 dibagi dengan bilangan cacah (kecuali 0), hasilnya nol (0)
            pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.
Garis Bilangan
         Himpunan bilangan cacah adalah {0, 1, 2, 3, …}, jika digambarkan dalam garis bilangan adalah sebagai berikut.
 
Urutan Bilangan Cacah
       1.     Dua bilangan itu sama atau tidak sama.Jika tidak sama tentulah salah satu lebih kecil     daripada yang lain.Dengan demikian kita temukan satu sifat urutan bilangan,yakni : Jika a dan b bilangan cacah maka tepat satu dari yang dibawah ini harus benar.
 a = b               atau  a < b                   atau b < a
2.      Urutan dua bilangan tidak berubah jika kedua bilangan itu ditambah dengan bilangan yang sama. Jika a < b tentu a + c < b + c
Bilangan Cacah dapat kita bedakan berdasarkan sifat-sifat, seperti sebagai berikut, yaitu:
(1) bilangan habis dibagi dua yang kita namakan bilangan genap dan bilangan yang tidak habis dibagi dua yang kita namakan bilangan ganjil,
(2) bilangan kelipatan tiga, kelipatan empat, kelipatan lima dan sebagainya,
(3) bilangan yang hanya mempunyai dua pembagi yang dinamakan bilangan prima dan bilangan yang mempunyai banyak pembagi yang dinamakan bilangan komposit,
(4) bilangan dari kuadrat sempurna dan bilangan kubik.
Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil (Gasal)
Jika bilangan cacah yang bukan nol dikategorikan sebagai bilangan ganjil dan bilangan genap, maka kesimpulan yang perlu kita ketahui adalah:
(1) bilangan ganjil kali bilangan ganjil adalah bilangan ganjil;
(2) bilangan ganjil kali bilangan genap atau sebaliknya adalah bilangan genap; dan
(3) bilangan genap kali bilangan genap adalah bilangan genap.  Hal tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini:

Tabel : Perkalian bilangan ganjil dengan bilangan genap

x
Bilangan Ganjil
Bilangan Genap
Bilangan Ganjil
Bilangan Ganjil
Bilangan Genap

Bilangan Genap

Bilangan Genap
Bilangan Genap
.Secara matematika bilangan genap didefinisikan 2n, sedangkan bilangan ganjil didefinisikan sebagai 2n + 1, dengan keterangan n sembarang bilangan cacah.  Sedangkan penjumlahan bilangan genap dan dan ganjil seperti tabel di bawah ini, yaitu:

Tabel : Penjumlahan bilangan ganjil dengan bilangan genap

+
Bilangan Ganjil
Bilangan Genap
Bilangan Ganjil
Bilangan Genap
Bilangan Ganjil

Bilangan Genap

Bilangan Ganjil
Bilangan Genap
Untuk membuktikan tabel perkalian di atas adalah sebagai berikut, yaitu: Jika a dan b adalah sembarang bilangan cacah, maka yang dimaksud dengan bilangan genap adalah 2a atau 2b, sedangkan yang dimaksud bilangan ganjil adalah 2a + 1 atau 2b + 1. 
Untuk selanjutnya berlaku: (1).  (2a + 1) x (2b + 1) = 4ab + 2a +2b +1= (2 (2ab + a + b)) + 1, di sini terlihat bahwa 4ab, 2a, dan 2b adalah bilangan genap, karena jika bilangan genap ditambahkan dengan bilangan genap sama dengan bilangan genap, maka bilangan genap ditambahkan dengan 1 (satu) adalah sama dengan bilangan ganjil.  Atau dengan cara lain dengan mengkuadratkan bilangan ganjil, seperti: (2a + 1)2 = (2a + 1) x ( 2a + 1) = 4a2 + 4a + 1 = [4a (a + 1)] + 1.  Dengan demikian bilangan ganjil dikalikan dengan bilangan ganjil adalah sama dengan bilangan ganjil, terbukti; (2). 2a x (2a + 1) = 4a2 + 2a, di sini terlihat bahwa kedua bilangan tersebut adalah bilangan genap, dengan demikian bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil adalah selalu bilangan genap, terbukti.
Contoh:
            3 + 3 = 5          (bilangan ganjil + bilngan ganjil = bilangan ganjil)
            4 + 5 = 9          (bilangan genap + bilangan ganjil = bilangan ganjil)
            6 + 6 = 12        (bilangan genap + bilangan genap = bilangan genap)
            3 x 5 = 15        (bilangan ganjil x bilngan ganjil = bilangan ganjil)
            5 x 4 = 20        (bilangan ganjil x bilangan genap = bilangan genap)
            6 x 8 = 48        (bilangan genap x bilangan genap = bilangan genap)
 Pengurangan Bilangan Cacah
         Pada penjumlahan kita mencari jumlahnya,sedangkan pada pengurangan kita mencari selisihnya.Kita ketahui penjumlahan itu berkaitan dengan penggabungan atau penyatuan himpunan benda-benda sejenis.Oleh karena itu pengurangan berkaiatan dengan pemisahan himpunan benda-benda sejenis.Pada umumnya persoalan pengurangan dapat dilihat dalam 3 macam keadaan, yaitu membuang ,mencari suku yang hilang dan membandingkan.
Seperti penjumlahan ,pengurangan dapat dilakukan dengan 4 pendekatan yaitu kumpulan ,pengukuran ,mesin fungsi dan cara bersusun pendek.
Sifat- sifat Pengurangan
     1.    Apakah operasi pengurangan tertutup pada bilangan cacah?
Dengan mengambil beberapa pasangan bilangan cacah sembarang,kita akan mengetahui bahwa sifat pengurangan itu tidak tertutup pada bilangan cacah.Sebab selisih  dua bilangan cacah tidak selalu hasilnya bilangan cacah lagi.
Contoh  4 – 9 = - 5
Meskipun 4 dan 9 itu bilangan cacah tetapi -5 bukan bilangan cacah
     2.    Apakah operasi pengurangan memenuhi sifat pertukaran ?
Tidak, karena tidak setiap bilangan cacah,bila dikurangkan letaknya dapat dipertukarkan.
     3.    Untuk setiap a, b,c, p,q dan r bilangan cacah berlaku
             a.       ( a – b ) + c = ( a + c ) – b                 ; syarat : a > b
             b.      ( a- b ) + c = a – ( b – c )                   ; syarat ; a > b dan b> c
             c.       a – b = ( a + c)- ( b+ c)                     ; syarat ; a> b
             d.      ( a –b ) – c = ( a- c ) – b                    ; syarat  a> b dan (a-b) >c
             e.       ( a –b) –c = a – ( b + c)                     ; syarat  a> b dan (a-b) >c
             f.       a – b = ( a-c) – ( b-c)                         ; syarat  a > b dan b > c
             g.      ( a + b + c )- ( p+ q +r )= ( a-p)+ (b-q) + (c-r) ; syarat a > p, b > q, c > r
        Pembagian Bilangan Cacah
         Bermacam-macam pendekatan dalam menanamkan pengertian tentang pembagian.
      1  Pembagian melalui himpunan
      2   Pembagian melalui pengukuran
                   a. Dengan garis bilangan
                   b. Dengan timbangan bilangan
                   c. Dengan batang kuisener
       3   Pembagian melalui jajaran
       4   Pembagian melalui mesin fungsi
       5   Pembagian sebagai pengurangan berulang
       6   Pembagian sebagai kebalikan perkalian
       7   Membagi dengan cara bersusun pendek
Sifat-sifat pembagian
        Untuk setiap a, b, c, p, q dan r bilangan cacah berlaku
      1.      sifat bilangan 0 dalam pembagian
         0 : a = 0 untuk a ≠ 0
         a : 0 = tak didefinisikan
         0 : 0 = tidak tentu
      2.      ( a:b ) : c = a : ( b: c)                   ; syarat : b factor dari a dan c factor dari b
3.                                                                           3      ( abc) : ( pqr) = a/p x b/q x c/r     ; syarat  : a, b, c,p, q, r merupakan bilangan    asli.
        - p faktor dari a
        - q faktor dari b
        - r faktor dari c
      4.      a : b = ( ca) : ( cb)                                   ; syarat : c≠ 0 dan b factor dari a
      5.      a : b = [ a/c] : [b/c]                      ; syarat  b factor dari a dan c factor dari b
      6.      ( a : b) : c = a : ( b: c)                  ; syarat : b dan c factor-faktor dari a
      7.      ( a : b) : c = ( a :c ) : b                 ; syarat : b dan c factor-faktor dari a
      8.      Sifat distributive pembagian terhadap penjumlahan:
         ( a + b) : c = [ a/c] + [b/c]                       ; syarat : c factor dari a dan b
       9.      Sifat distributive pembagian terhadap pengurangan :
          ( a – b) : c = a/c – b/c                 ; syarat : a > b dan c factor dari a dan b
      10.    Jika a < b , c factor dari a dan b maka a/c < b/c
     Pengurangan dan Pembagian
       Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a – b menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika c – b = a atau c – a = b.
Contoh:
7 + 2 = 9                sebab 9 – 2 = 7
12 + 3 = 15            sebab 15 – 12 = 3
24 + 23 = 47          sebab 47 – 23 = 24
Pengurangan ini sering dijadikan sebagai pemeriksaan hasil dari penjumlahan, untuk meyakinkan bahwa hasil penjumlahan tersebut benar. Misalkan, apakah benar 12 + 13 = 25, maka untuk meyakinkan hasil penjumlahan tersebut cobalah balikan, berapkah  25 – 13 = … ? Jika hasil 12, maka hasil penjumlahan tersebut adalah benar.
Contoh Soal:
Amin disuruh ibunya membeli 10 butir telur, ketika dalam perjalanan pulang tiba-tiba terjatuh, sehingga telur yang dibelinya ada yang pecah. Adapun telur yang masih tersisa 7 butir. Berapa butir telor yang pecah?
Jawab:
Soal tersebut dapat diselesaikan dengan pendekan model matematika seperti berikut:   10 – 7 = 3              sebab 7 + 3 = 10
                  Misalkan x adalah telur yang pecah, maka                
10 – x  = 7
x = 3   
Jadi telur yang pecah adalah 3 butir. 
            Sedangkan pembagian didefinikan sebagai berikut:
            Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y  = x
Contoh:
12 : 3 = 4         sebab   4 x 3 = 12
42 : 7 = 6         sebab   6 x 7 = 42
20 : 5 = 4         sebab   4 x 5 = 20
Contoh Soal
      Ibu membagikan kue sebanyak 30 biji kepada anaknya yang berjumlah 5 orang, masing mendapatkan bagian yang sama. Berapakah anaknya masing-masing mendapatkan kue?
Jawab:
Misalkan A, B, C, D, dan E adalah nama-nama anak, jika 30 kue dibagi habis kepada 5 orang, maka masing-masing mendapatkan 6 biji kue. Dan gambar yang da[at dibuat adalah sebagai berikut
 
Contoh soal
Pak Ahmad membagikan uang sodaqoh kepada sejumlah pakir miskin sebanyak Rp. 50.000,00, masing-masing medapatkan Rp. 12.500,00. Berapakah jumlah pakir miskin yang diberi uang oleh Pak Ahmad?
Jawab:
Misalkan jumlah orang pakir miskin adalah p.
Rp. 50.000,00 : p = Rp. 12.500,00 atau ditulis
12500 p = 50000
p =
p = 4
KESIMPULAN
  1. Bilangan cacah adalah sebagai gabungan bilangan asli dengan bilangan 0 (nol),  bilangan  asli itu sendiri adalah himpunan A = {1, 2, 3, …..), jadi bilangan cacah terdiri dari {0, 1, 2, 3, …..}
  2. Sifat-sifat Penjumlahan yaitu:  tertutup, komutatif, asosiatif, dan sifat penjumlahan dengan nol.
  3. Fakta dasar penjumlahan terdapat 100 yaitu dimulai dari 0 + 0 sampai dengan 9 + 9.
  4.  Penguasaan konsep perkalian sedikitnya dapat dilakukan dengan empat pendekatan, yaitu:
 (1) pendekatan pemasangan dari dua anggota himpunan;
(2) pendekatan penjumlahan berulang;
(3) pendekatan gabungan dua himpunan; dan
      (4) pendekatan membilang loncat.
5. Sifat perkalian adalah: tertutup,  komutatif, asosiatif, distributive, adanya Elemen Identitas dan Sifat Perkalian degan Bilangan 0 (nol)
6. Fakta dasar perkalian sebanyak 100, dimuali dari 0 x 0 sampai dengan 9 x 9
7. Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a – b menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika c – b = a atau c – a = b.
8. Pembagian didefinikan: Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y  = x
DAFTAR PUSTAKA
Hollands, Roy. (1984). Kamus Matematika (Terjemahan Naipopos Hutahuruk).
Jakarta: Erlangga.
Wheeler, Ruric E. (1973). Modern Mathematics An Elementary Approach (Third Edition),  (California: Brooks/Cole Publishing Company, Monterey.
Soewito, Dkk.(1991/1992) Pendidikan Matematika I. Jakarta: Depdikbud Dirjen Dikti P2TK.

Translate